Russell'in keşfettiği ve onun adıyla anılan ilk paradoks kendi kendisinin üyesi olmayan sınıfların sınıfı paradoksudur. Mesela, "insanlar sınıfının kendisi bir 'insan' değildir." Eğer bir sınıf, kendi kendisinin üyesiyse, onu nitelendiren özelliğe sahiptir, dolayısıyla da kendi kendisinin üyesi değildir.
Eğer, kendi kendisinin üyesi değilse, onu nitelendiren özelliğe sahip değildir. Dolayısıyla, kendi kendisinin üyesidir. Her iki durumda da bir çelişki söz konusudur.
Aynı model üstüne "yalan söylüyorum" Giritli Epimenides'inki gibi paradokslar kurulabilir. Bu paradokslar, doğrudan doğruya mantık ilkelerini tartışmaya açıyordu. Artık, mantık sağlam bir temel oluşturamaz gibi göründüğünden, "matematikte temeller bunalımı" olarak adlandırılan durum ortaya çıkmış oluyordu.
Russell, 1908'de, paradoksların, bir bütünün kendi kendisinin üyesi olarak kabul edilmesiyle ortaya çıkan bir kısır döngüden kaynaklandığını keşfetti. Bundan kaçınabilmek için, "hiçbir bütünlüğün o bütünün terimleriyle tanımlanabilir üyeler olamayacağını ileri süren kısır döngü ilkesi'ne uymak yeterliydi." Bu da bir bütünlüğün öğelerinin, bu bütünlüğe öncelik kendi kendileri tarafından belirlenmesini gerekli kılıyordu.
Rusell'in tipler kuramı, bu sorunun çözümüne yöneliktir. Buna göre, birbirlerini karşılıklı olarak dışlayan sınıfların (bireyler sınıfı, bireylerin sınıflarının sınıfı, bireylerin sınıflarının sınıfının sınıfı vb.), yüklemlerin (bireylerin yüklemleri, bireylerin; bireylerin yüklemlerinin yüklemleri, vb.) ve önermelerin tiplerinin hiyerarşisiyle açıklanabilir.
Rııssell paradoksu (bütün kümelerin kümesinin paradoksu), bir sınıfın kendi kendisinin üyesi olup olmadığı sorusu bütün anlamını kaybettiğinden, ortadan kalkmış olmaktadır. Hiçbir yüklem kendi kendisine yüklemlenemeyeceğinden yüklem paradoksu için de aynı şey söz konusudur. Yalancı paradoksuna gelince, "yalan söylüyorum" önermesi, kendisine uygulanamayacağı için, o da aynı şekilde çözülür.
Ancak, bu aşamada ortaya yeni bir güçlük çıkar: anlamlılık; her tamdeyim kendi anlamlılığını oluşturan bir tiple tanımlanır. Mesela, "x uzundur L(x}" fonksiyonu, fonksiyon değerleri bakımından değil, sadece birey değerleri bakımından anlam taşır. Anlamlı düzgün tamdeyimler le-L(x) anlam taşımayan tamdeyimler -L arasında felsefi açıdan verimli bir ayrıma (daha sonra, Rudolf Carnap tarafından ele alınacaktır) gidilmesi ve Wittgenstein tarafından reddedilecek olan farklı dil düzeylerinin kabulünün, Polonyalı mantıkçılar Lesniewski ve Tarski tarafından her sağlam anlambilimin koşulu olarak yeniden onaylanması buradan kaynaklanır.
Konu: Bertrand Russell'in Paradoksları 
